Question

学校文艺队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人．现从中选2人，其中至少有一人既会唱歌又会跳舞的概率为

3

5

．
（1）求文艺队的人数；
（2）（理科）设ξ为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数，求Eξ．
（文科）若选出的2人一人唱歌，一人跳舞，求有多少种不同的选派方案？

Answer 1

分析：（1）根据题意，设文艺队中既会唱歌又会跳舞的人数为x，分析可得只会唱歌、只会跳舞的人数与总人数，分x=1与2≤x≤3两种情况讨论，用x表示出从中选2人，其中至少有一人既会唱歌又会跳舞的概率，可求得x的值，进而可得答案；
（2）（理科）根据题意，ξ可取的值为0、1、2，分析ξ=0、1、2的意义，由等可能事件的概率，计算可得ξ=0、1、2的概率，由期望的计算方法，可得答案；
（文科）根据题意，分别计算“从既会唱歌又会跳舞的队员中选出1名队员唱歌”与“从只会唱歌的队员中选出1名队员唱歌”的选派方案，由分类计数原理计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，设文艺队中既会唱歌又会跳舞的人数为x，
则只会唱歌的人数为3-x，只会跳舞的人数为5-x，总人数为8-x，
当x=1时，选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P=

C 1 6

C 2 7

=

2

7

，不合题意，
当2≤x≤3时，由选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P=

C 1 x C 1 8-2x

C 2 8-x

+

C 2 x

C 2 8-x

=

3

5

，
可解得x=2，
所以文艺队共有6人．
（2）（理）根据题意，ξ可取的值为0、1、2，
ξ=0，即选出的2人中没有既会唱歌又会跳舞的，则P(ξ=0)=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

，
ξ=1，即选出的2人中有1人既会唱歌又会跳舞，则P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，
ξ=2，即选出的2人中都是既会唱歌又会跳舞的，则P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
得Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

；
（文）若从既会唱歌又会跳舞的队员中选出1名队员唱歌，则有C₂¹C₄¹=8种不同的选派方案，
若从只会唱歌的队员中选出1名队员唱歌，则有C₁¹C₅¹=5种不同的选派方案，
因此，共有8+5=13种不同的选派方案．

点评：本题考查排列、组合的应用，涉及概率计算，离散型变量的计算；关键是由等可能事件的概率的求出文艺队的人数．