Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax-2a（a∈R）
（1）若a=1，求不等式f（x）＞g（x）的解集．
（2）若对于任意x＞2均有f（x）＞g（x）-4成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a的值代入后直接求解一元二次不等式即可得到答案；
（2）由f（x）＞g（x）-4成立，代入两个函数解析式后分离参数a，然后利用基本不等式求最小值，则答案可求．

解答：解：（1）a=1，g（x）=x-2，f（x）＞g（x）即为x²-2x＞x-2，
整理得x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．
∴不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）；
（2）由f（x）＞g（x）-4，得x²-2x+4＞a（x-2），
x＞2，x-2＞0，则a＜

x2-2x+4

x-2

=x-2+

4

x-2

+2．
令h（x）=x-2+

4

x-2

≥4，当且仅当x=4时等号成立，
∴a＜6．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函数的性质，考查了分离参数法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．