Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数f′（x）=2x+2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知设函数f（x），结合导函数可求函数解析式，进而可得s_n，然后利用当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，a₁=S₁，可求通项
（Ⅱ）由（I）可求b_n，然后利用错位相减可求数列的和
解答：解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx，f'（x）=2ax+b=2x+2，…（2分）
∴a=1，b=2，f（x）=x²+2x，
∴…（4分）
∴当n≥2时，，…（6分）
又a₁=S₁=3，适合上式，
∴a_n=2n+1…（7分）
（Ⅱ）∵，
∴，…（9分）
∴，
相减得：…（11分）
=．
∴…（14分）
点评：本题主要考查了利用数列的和与项之间的递推关系求解数列的通项，及错位相减法求解数列的和的应用，要求考生熟练掌握基本方法．