Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足2a²_n+1+3a_n+1a_n-2a²_n=0（n∈N^*+）且a₃+是a₂，a₄的等差中项，数列{b_n}的前n项和S_n=n²
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=，求证：T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）对已知递推公式变形整理可得即，结合等比数列的通项公式及a₃+是a₂，a₄的等差中项可求a₂，进而可求a_n
由已知可得，b₁=s₁n≥2时，b_n=s_n-s_n-1可求b_n
（2）利用裂项求和即可求解T_n，即可证明不等式成立
解答：（1）解：∵2a²_n+1+3a_n+1a_n-2a²_n=0
即（2a_n+1-a_n）（a_n+1+2a_n）=0
∵a_n＞0
∴2a_n+1-a_n=0即
数列{a_n}是以为公比的等比数列
∵a₃+是a₂，a₄的等差中项
∴2a₃=a₂+a₄
∴
∴，==
∵S_n=n²，
∴b₁=s₁=1
n≥2时，b_n=s_n-s_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
当n=1时，适合上式
∴b_n=2n-1
（2）由（1）可得，T_n=
=
=
=
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，及利用数列的和与项的递推公式求解通项，裂项求和方法的应用等知识的综合考查运用