Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a _n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，可得关于d和a₁的方程组，解之代入通项公式可得；（Ⅱ）可得

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），裂项相消可得
原式=

1

2

（1-

1

2n+1

），由放缩法可得答案．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则

4a1+ 4×3 2 d=4(2a1+d) a1+(2n-1)d=2a1+2nd

，解得

a1=1 d=2

故数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n-1，n∈N*．…（6分）
（Ⅱ）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．…（12分）

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及裂项相消法求数列的和，属中档题．