Question

数列{a_n}的前n项的和为S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试比较与的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据a_n-1=S_n+1-S_n+1求得a_n+1与a_n的关系式，进而代入中，求得进而证明为等比数列，公比为，首项为-2，进而求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的a_n可求得S_n的表达式，再让-化简得所以只要比较2ⁿ与2n+1的大小即可．
解答：解：（1）由S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n+1-3ⁿ⁺²，相减得：，
故，
∴，
即是以为首项，以为公比的等比数列
由已知得：，∴，故，
所以（8分）
（2），故只要比较与的大小，
∵，
所以只要比较2ⁿ与2n+1的大小，
当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1；
当n≥3时，2ⁿ=C_n+C_n¹++C_n^n-1+C_nⁿ＞C_n+C_n¹+C_n^n-1=2n+1
所以当n=1，2时，当n≥3时，．
点评：本题主要考查数列中等比关系的确定．解题的关键是求出每一项与它的前一项的比等于同一个常数．