定义在(π2.π]上的函数f(x)=x-sinx.给出下列性质:①f(x)是增函数,②f(x)是减函数,③f(x)有最大值, ④f(x)有最小值．其中正确的命题是①③①③．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

定义在(

，π]上的函数f（x）=x-sinx，给出下列性质：
①f（x）是增函数；
②f（x）是减函数；
③f（x）有最大值；
④f（x）有最小值．
其中正确的命题是

①③

．

分析：在(

，π]上，由y=x和y=-sinx都是增函数，知在(

，π]上的函数f（x）=x-sinx是增函数．由y=x有最大值π，y=-sinx在x=π处最大值0，知在(

，π]上的函数f（x）=x-sinx有最大值．

解答：解：∵在(

，π]上，
y=x和y=-sinx都是增函数，
∴在(

，π]上的函数f（x）=x-sinx是增函数．
∵在(

，π]上，
y=x有最大值π，y=-sinx在x=π处最大值0，
∴在(

，π]上的函数f（x）=x-sinx有最大值．
故答案为：①③．

点评：本题考查函数的单调性和最值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．

练习册系列答案

A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|Φ（2x₁）-Φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|；
（1）设Φ(x)=

[

3]1+x，x∈[2，4]，证明：Φ（x）∈A；
（2）设Φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=Φ（2x₀），那么，这样的x₀是唯一的；
（3）设Φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=Φ（2x_n），n=1，2，…，
证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤

Lk-1

1-L

|x2-x1|成立．

下面有四个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②终边在直线y=±x上的角的集合是{α|α=

kπ

，k∈Z}
③函数y=sin(x-

)在[0，π]上是减函数．
④连续函数f（x）定义在[2，4]上，若有f（2）•f（4）＜0，要用二分法求f（x）的一个零点，精确度为0.1，则最多将进行5次二等分区间．
其中，真命题的编号是

①②④

（写出所有真命题的编号）

（2013•延庆县一模）A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|?（2x₁）-?（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=

3	1+x

，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤

试题分类