Question

定义在[2，4]上的函数f(x)=-

1

2

x2+2x+3lnx的值域为

[

3

2

+3ln3，2+3ln2]

．

Answer 1

分析：由f(x)=-

1

2

x2+2x+3lnx，知f′(x)=-x+2+

3

x

，由此能求出定义在[2，4]上的函数f(x)=-

1

2

x2+2x+3lnx的值域．

解答：解：∵f(x)=-

1

2

x2+2x+3lnx，
∴f′(x)=-x+2+

3

x

，
由f′(x)=-x+2+

3

x

=0，得x₁=-1，x₂=3，
∵x∈[2，4]，∴x₁=-1（舍），
∵f（2）=-

1

2

×22+2×2+3ln2=2+3ln2，
f（3）=-

1

2

×32+2×3+3ln3=

3

2

+3ln3，
f（4）=-

1

2

×42+2×4+3ln4=3ln4．
∴定义在[2，4]上的函数f(x)=-

1

2

x2+2x+3lnx的值域为[

3

2

+3ln3，2+3ln2]．
故答案为：[

3

2

+3ln3，2+3ln2]．

点评：本题考查利用导数求闭区间上的函数的最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．