Question

3．化简下列各式：
（1）$\frac{{a}^{\frac{2}{3}}\sqrt{b}}{{a}^{-\frac{1}{2}}\root{3}{b}}$•（$\frac{{a}^{-1}\sqrt{{b}^{-1}}}{b\sqrt{a}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$；
（2）$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{4{b}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+{a}^{\frac{2}{3}}}$÷（1-2$\root{3}{\frac{b}{a}}$）$•\root{3}{a}$．

Answer 1

分析 （1）化简$\frac{{a}^{\frac{2}{3}}\sqrt{b}}{{a}^{-\frac{1}{2}}\root{3}{b}}$•（$\frac{{a}^{-1}\sqrt{{b}^{-1}}}{b\sqrt{a}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}}{{a}^{-\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}}}$•（$\frac{{a}^{-1}{b}^{-\frac{1}{2}}}{b{a}^{\frac{1}{2}}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$，从而解得；
（2）$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{4{b}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+{a}^{\frac{2}{3}}}$÷（1-2$\root{3}{\frac{b}{a}}$）$•\root{3}{a}$=$\frac{{a}^{\frac{1}{3}}（a-8b）}{4{b}^{\frac{2}{3}}+2{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+{a}^{\frac{2}{3}}}$×$\frac{{a}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{3}}-2{b}^{\frac{1}{3}}}$×${a}^{\frac{1}{3}}$，利用立方差公式解得．

解答 解：（1）$\frac{{a}^{\frac{2}{3}}\sqrt{b}}{{a}^{-\frac{1}{2}}\root{3}{b}}$•（$\frac{{a}^{-1}\sqrt{{b}^{-1}}}{b\sqrt{a}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$
=$\frac{{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}}{{a}^{-\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}}}$•（$\frac{{a}^{-1}{b}^{-\frac{1}{2}}}{b{a}^{\frac{1}{2}}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$
=${a}^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}$•${b}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{3}{4}-\frac{3}{2}}$
=${a}^{-\frac{5}{6}}$${b}^{-\frac{25}{12}}$；
（2）$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{4{b}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+{a}^{\frac{2}{3}}}$÷（1-2$\root{3}{\frac{b}{a}}$）$•\root{3}{a}$
=$\frac{{a}^{\frac{1}{3}}（a-8b）}{4{b}^{\frac{2}{3}}+2{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+{a}^{\frac{2}{3}}}$×$\frac{{a}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{3}}-2{b}^{\frac{1}{3}}}$×${a}^{\frac{1}{3}}$
=a．

点评 本题考查了根式的化简与立方差公式的应用．