题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为s_n，当n≥2，（n∈N^）， $数学公式$ ．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{n•|a_n|}的前n项和为T_n，若对任意n∈N^，都有T_n＜C，求正整数C的最小值；
（3）证明：对一切n≥2，n∈N^*时， $数学公式$ ．

解：（1）由 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ a₂，a₃，…a_n成等比…（3分）
故 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）依题意： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
两式错们相减得： $\text{[math]}$
所以对一切n∈N₊有T_n＜4且T_n是递增的
又因为 $\text{[math]}$
所以满足条件T_n＜c的最小正整数c=4…（8分）
（3）记 $\text{[math]}$
一方面 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ …（10分）
另一方面 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ （只有n=2时取等）
所以 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴对一切n≥2，n∈N^*时， $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）依题意： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，再由错位相减法能够求出满足条件T_n＜c的最小正整数．
（3）记 $\text{[math]}$ ．一方面 $\text{[math]}$ ，另一方面 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．由此能够证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．