Question

如图，在三棱拄中，侧面，已知  

（1）求证：；

（2）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,

使得；

(3) 在（2）的条件下,求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

为的中点时，，

解析:

证（Ⅰ）因为侧面，故

 在中，   由余弦定理有

  故有 

  而     且平面

     

（Ⅱ）由

从而  且 故

 不妨设  ，则，则

又  则

在中有   从而（舍负）

故为的中点时，

 法二：以为原点为轴，设，则       由得    即

      

  化简整理得   ， 或

  当时与重合不满足题意

  当时为的中点

     故为的中点使

 （Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点

 连则，连则，连则

 连则，且为矩形，

又   故为所求二面角的平面角

在中，

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角

因为  

故