Question

【题目】已知函数.

（1）当时,讨论函数的单调性；

（2）当时,若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减（2）

【解析】

（1）求出函数的导数， 通过讨论的范围， 求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为恒成立， 设，根据函数的单调性求出的最小值， 从而求出的范围即可 ．

解：（1）由题意，知.

当，时，有.

当时，；当时，.

函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）由题意，当时，不等式恒成立.

即恒成立，即恒成立.

设.则.

设，则.

当时，有.

在上单调递增，且，.

函数有唯一的零点，且.

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

即为在定义域内的最小值.

.

，得，.

令，.

方程等价于，.

而在上恒大于零，在上单调递增.

故等价于，.

设函数，.易知单调递增.

又，，是函数的唯一零点.

即，.

故的最小值.

实数b的取值范围为.