Question

2．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（1）求A₁B与平面ABD所成角的正弦值；
（2）求点A₁到平面AED的距离．
（3）若P为侧棱CC₁上的一个动点（含端点），平面AEP与平面BCC₁B₁所成锐角为θ，求sinθ的最小值．

Answer 1

分析 （1）以CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，求出平面ABD的一个法向量，求出$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，通过向量数量积求解A₁B与平面ABD所成角的正弦值．
（2）求出平面AED的一个法向量，$\overrightarrow{D{A_1}}=（2，0，1）$，然后利用公式求解即可．
（3）设CP=h（0≤h≤2），求出平面BCC₁B₁的一个法向量，平面AEP的一个法向量，然后利用数量积求解sinθ的最小值．

解答 解：（1）以CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1）；A₁（2a，0，2）E（a，a，1）G（$\frac{2a}{3}，\frac{2a}{3}，\frac{1}{3}$）．∴$\overrightarrow{GE}=（\frac{a}{3}，\frac{a}{3}$，∴$\overrightarrow{GE}•\overrightarrow{BD}=-\frac{2}{3}{a^2}+\frac{2}{3}=0$，解得a=1．平面ABD的一个法向量为$\overrightarrow{GE}=（\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，
∴$\overrightarrow{B{A_1}}=（2，-2，2）$，$cos＜\overrightarrow{B{A_1}}，\overrightarrow{GE}＞=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
A₁B与平面ABD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$（4分）
（2）平面AED的一个法向量为$\overrightarrow n=（1，-1，2）$，$\overrightarrow{D{A_1}}=（2，0，1）$
点A₁到平面AED的距离$d=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{DA}|}}{|\overrightarrow n|}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$（8分）
（3）设CP=h（0≤h≤2），则P（0，0，h），
平面BCC₁B₁的一个法向量$\overrightarrow{m_1}=（2，0，0）$，
平面AEP的一个法向量$\overrightarrow{m_2}=（h，h-2，2）$，
则$cosθ=\frac{2h}{{2\sqrt{{h^2}+{{（h-2）}^2}+4}}}=\frac{h}{{\sqrt{2{h^2}-4h+8}}}$
当h=0时，cosθ=0，当h≠0时，$cosθ=\frac{1}{{\sqrt{\frac{8}{h^2}-\frac{4}{h}+2}}}=\frac{1}{{\sqrt{8{{（\frac{1}{h}-\frac{1}{4}）}^2}+\frac{3}{2}}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
h=2时取等号，此时$sinθ≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（12分）

点评 本题考查空间向量数量积的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．