Question

函数f（x）=sinx，f'（x）是f（x）的导函数，若将f（x）的图象按照向量

a

=(m，k)平移可得到f'（x），则当|

a

|最小时，

lim

n→∞

(1+

1

m

+

1

m2

+…+

1

mn

)=（　　）

• A．

  π

  π-2

• B．

  π

  π+2

• C．

  π

  π-1

• D．

  π

  π+1

Answer 1

分析：由向量的平移公式，

x′=x+m y′=y+k

即将f（x）=sinx的图象按照向量

a

=(m，k)平移可得到f'（x）=cosx，可得y=cos（x+m）-k=sinx，当|

a

|最小时，有k=0，m=-

π

2

而

lim

n→∞

(1+

1

m

+…+

1

mn

)=

lim

n→∞

1-( 1 m )n+1

1- 1 m

代入可求极限

解答：解：f′（x）=cosx，则

x′=x+m y′=y+k

将f（x）=sinx的图象按照向量

a

=(m，k)平移可得到f'（x）=cosx
∴y+k=cos（x+m）
∴y=cos（x+m）-k=sinx
|

a

|最小时，有k=0，m=-

π

2

∴

lim

n→∞

(1+

1

m

+…+

1

mn

)=

lim

n→∞

1-( 1 m )n+1

1- 1 m

=

1

1+ 2 π

=

π

π+2

故选B．

点评：本题主要考查了数列极限的求解，三角函数的诱导公式的应用，解题的关键是根据向量的平移得到满足条件的k，m的值