Question

设f（x）=

a•2x-1

1+2x

是R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判定f（x）在R上的单调性．
（3）若对于任意的x∈[-1，1]，f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（ 1）由于函数定义域是R，因为f（x）是奇函数，故有f（0）=

a-1

2

=0，由此解得a的值．
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），从而可得f（x）是增函数．
（3）由于f（x）在[-1，1]上也是增函数，要使f（x）-a≥0恒成立，只要a小于或等于f（x）的最小值，求得f（x）的最小值，可得a的取值范围．

解答：解：（ 1）由于函数定义域是R，因为f（x）是奇函数，故有f（0）=

a-1

2

=0，
解得a=1．…（4分）
（2）f（x）增函数，…（5分）
因为f(x)=

2x-1

1+2x

，设设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得2x1＜2x2．
则f（x₁）-f（x₂）=…=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）是增函数．…（9分）
（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，所以f（x）在[-1，1]上也是增函数，
要使f（x）-a≥0恒成立，只要a小于或等于f（x）的最小值．
而f（x）的最小值为f（-1）=-

1

3

，
∴a≤-

1

3

…（12分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．