Question

设f（x）=

a•2x-1

2x+1

是R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）与f（x）关于直线y=x对称，求g（x）的解析式和定义域．
（3）求解关于x的不等式g（x）＞log₂（1+x）．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数在x=0处的函数值为0，列式并解之可得a值，再加以检验即可；
（2）由f（x）的表达式解出用y表示x的式子，从而得到f（x）的反函数为y=log₂

1+x

1-x

，再结合题意知g（x）就是函数f（x）的反函数，由此可得函数g（x）的表达式；
（3）根据对数的真数大于0，并结合对数函数的单调性建立关于x的不等式组，解之即得原不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=

a•20-1

20+1

=0，解之得a=1
检验：当a=1时，f（x）=

2x-1

2x+1

，
得f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x）成立，故a=1符合题意．
（2）令y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，可得2^x=

2

1-y

-1=

1+y

1-y

∴x=log₂

1+y

1-y

，可得f（x）=

2x-1

2x+1

的反函数为y=log₂

1+x

1-x

，
∵函数g（x）图象与f（x）图象关于直线y=x对称，
∴函数y=g（x）是函数f（x）的反函数，故g（x）=log₂

1+x

1-x

．
（3）g（x）＞log₂（1+x），即

1+x 1-x ＞0 1+x＞0 1+x 1-x ＞1+x

，
解这个不等式组，得0＜x＜1，原不等式的解集是（0，1）

点评：本题给出含有指数式的分式函数，求函数的奇偶性并解相应的不等式，考查了基本初等的单调性、奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题．