Question

如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2)．

 (1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

(1)当y=时，x=，又抛物线y2= 2px的准线方程为x=，

由抛物线定义得，所求距离为-(-)=

(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB

由y12=2px1，y20=2px0

相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，

故kPA=(x1≠x0)．

同理可得kPB=(x2≠x0)．

由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，

即=-，所以yl+y2=-2y0，

故=-2. 设直线AB的斜率为kAB

由y22=2px2，y21=2pxl

相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，

所以

将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得

所以kAB是非零常数．