Question

给出下列个命题：
①若函数f(x)=asin(2x+

π

3

+?)(x∈R）为偶函数，则?=kπ+

π

6

(k∈Z)
②已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+

π

4

）在（

π

2

，π）上单调递减，则ω的取值范围是[

1

2

，

5

4

]
③函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜

π

2

）的图象如图所示，则f（x）的解析式为f(x)=sin(2x+

π

3

)；
④设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若（a+b）c＜2ab；则C＞

π

2

⑤设ω＞0，函数y=sin(ωx+

π

3

)+2的图象向右平移

4π

3

个单位后与原图象重合，则ω的最小值是

3

2

．
其中正确的命题为

①②③⑤

．

Answer 1

分析：根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．①根据三角函数的奇偶性的性质进行判断．②利用三角函数的单调性进行判断．③利用三角函数的图象和性质进行判断．④根据正弦定理或余弦定理进行判断．⑤利用三角函数的图象和三角函数的性质进行判断．

解答：解：①若函数f（x）为偶函数，则

π

3

+?=

π

2

+kπ，即?=kπ+

π

6

(k∈Z)成立，∴①正确．
②∵

T

2

≥π-

π

2

=

π

2

，∴周期T≥π，即

2π

ω

≥π，∴0＜ω≤2．
当

π

2

＜x＜π时，

π

2

ω+

π

4

＜ωx+

π

4

＜ωπ+

π

4

，即ωx+

π

4

∈[

π

2

ω+

π

4

，ωπ+

π

4

]⊆[

π

2

，

3π

2

]，
∴

π 2 ω+ π 4 ≥ π 2 ωπ+ π 4 ≤ 3π 2

，解得

1

2

≤ω≤

5

4

．∴②正确．
③由图象可知A=1，

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，即周期T=π=

2π

ω

，解得ω=2．
∴f（x）=sin（2x+?），
∵f(

7π

12

)=sin?(2×

7π

12

+?)=sin?(

7π

6

+?)=-1，∴

7π

6

+?=

3π

2

+kπ，
解得?=

3π

2

-

7π

6

+kπ=

π

3

+kπ，k∈Z．∴当k=0时，?=

π

3

，∴f（x）的解析式为f(x)=sin(2x+

π

3

)，∴③正确．
④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜

π

3

＜

π

2

＜，故④错误；
⑤若函数y=sin(ωx+

π

3

)+2的图象向右平移

4π

3

个单位后与原图象重合，则nT=

4π

3

，即

2nπ

ω

=

4π

3

，
∴ω=

3nπ

2

，
∵ω＞0，∴当n=1时，ω的最小值是

3

2

．∴⑤正确．
故答案为：①②③⑤．

点评：本题主要考查三角函数的性质的应用，综合性较强，运算量较大．涉及的知识点较多．