Question

7．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）、的值；
（2）证明f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（2）若f（2）=1，解关于x的不等式f（x）+f（x-3）＞2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法进行求f（1）的值；      
（2）根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
（3）根据函数单调性的性质解不等式即可．

解答 解：（3）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{2}?\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）$=$f（{x}_{2}）+f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
（3）若f（2）=1，则f（2）+f（2）=f（2×2）=2，
即f（4）=2，
则解关于x的不等式f（x）+f（x-3）＞2．
等价为f（x）+f（x-3）＞f（4），
即f[x（x-3）]＞f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）＞4}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{{x}^{2}-3x-4＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{x＞4或x＜-1}\end{array}\right.$，
即x＞4，
即不等式的解集为（4，+∞）

点评 本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键，考查学生的运算能力．