Question

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，满足⊥的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．

Answer 1

（O，）
分析：根据垂直两个向量的数量积为0，可得M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．而M总在椭圆内部，说明该圆内含于椭圆，由此建立关于b、c的不等式，结合椭圆的平方关系化简整理即可得到椭圆离心率e的取值范围．
解答：设椭圆的方程为（a＞b＞0），可得F₁（-c，0），F₂（c，0）
∵•=0，
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又∵M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，可得c＜b，
平方得c²＜b²，即c²＜a²-c²．
∴e²=＜，可得离心率e满足：0＜e＜．
故答案为：（O，）
点评：本题给满足指向椭圆两个焦点的向量数量积为0，且该点总在椭圆内部，求椭圆的离心率范围，着重考查了椭圆的方程与简单几何性质等知识，属于基础题．