Question

已知函数．先把y=f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）已知，，求f（2α）的值；
（3）设g₁（x），g₂（x）是定义域为R的两个函数，满足g₂（x）=g₁（x+θ），其中θ是常数，且θ∈[0，π]．请设计一个函数y=g₁（x），给出一个相应的θ值，使得g（x）=g₁（x）•g₂（x）．并予以证明．

Answer 1

解：（1）g（x）=cos2x．…（2分）
（2）因为，，所以，
所以，…（4分），则，…（5分），则，…（6分）
所以．…（7分）
（3）令g₁（x）=cosx+sinx，，…（9分）
则g₁（x）•g₂（x）=（cosx+sinx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x…（10分）
（注：令，；，θ=π等相应给分．）（只构造不证明本小问不得分．）
分析：（1）根据三角函数的图形变换，写出f（x）的解析式；
（2）根据α的取值范围求出sin2α，cos2α的值，再求f（2α）；
（3）构造g₁（x）=cosx+sinx，，直接代入验证即可．
点评：本题考查了三角函数的图象变换，二倍角公式，以及构造三角函数，综合性比较强，属于中档题型．