Question

设函数f（x）定义域为D，x1，

x

2

∈D，同时满足下列条件
①f(x1

x

2

)=f(x1)+f(x2)
②

f(x2)-f(x1)

x2-x 1

＞0
③f(

x1+ x   2

2

)＞

1

2

[f(x1)+f(x2)]的函数是（　　）

Answer 1

分析：结合选项的各函数，然后逐一代入到各个条件进行检验即可判断

解答：解：A：y=x²中，f（x₁x₂）=(x1x2)2≠f（x₁）+f（x₂），故A错误
B：y=log_0.5x的函数在定义域（0，+∞）上单调递减，不满足条件②，故B错误
C：f（x）=lgx中，f（x₁x₂）=lgx₁x₂=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂），满足①
且函数y=lgx在（0，+∞）上单调递增，满足条件②
f(

x1+x2

2

)=lg

x1+x2

2

≥①lg

x1x2

=

1

2

lgx1x2=

1

2

[f(x1)+f(x2)]满足条件③，故C正确
D：f(

x1+x2

2

)=3

x1+x2

2

=3

x1

2

•3

x2

2

=f（x₁）•f（x₂）不满足③
故选C

点评：本题综合考查了二次函数、指数函数及对数函数的性质，对数的运算性质及函数的单调性的定义、基本不等式等知识的综合，试题具有一定的综合性