Question

设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、[0，

  1

  4

  ]
• D、(0，

  1

  4

  )

Answer 1

分析：根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解．

解答：解：依题意，函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，
而t=0时，g（x）=2x不满足条件②，
∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，
∴

loga(a2m+t)=m loga(a2n+t) =n

，即

a2m+t=am a2n+t=an

，
∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的两个不等实根，
∴△=1-4t＞0，
∴0＜t＜

1

4

，
故选D．

点评：准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式．