Question

（Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知某点P（x，y），直线l：Ax+By+C=0．求证：点P到直线l的距离．
（Ⅱ）已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点P（2，0），O为坐标原点，过P的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若向量在向量上的投影为n，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分类讨论，利用构造直角三角形的方法，可以证明结论成立；
（Ⅱ）当直线l⊥x轴时，与已知矛盾，设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，借助于，可得直线的斜率，从而可得直线l的方程．
解答：（Ⅰ）证明：当A=0，B≠0时，直线l：y=-，点P到直线l的距离d=|+y|；
当A≠0，B=0时，直线l：x=-，点P到直线l的距离d=|+x|
当AB≠0时，如图，则R（，y），S（）
∴PR=||，PS=||
PQ是直角△PRS斜边上的高，由三角形面积公式可得PQ==
综上知，点P到直线l的距离．
（Ⅱ）解：当直线l⊥x轴时，与已知矛盾；
故可设直线方程：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴，∴ky²-4y-8k=0
∴．
代入抛物线方程可得：
∵，∴cos²θ（x₁x₂+y₁y₂）=-2
∴，
解得tanθ=k=±1
∴l：x±y-2=0
点评：本题考查点到直线距离的证明，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．