题目内容
已知数列{an}（n∈N*），其前n项和为Sn，给出下列四个命题：
①若{an}是等差数列，则三点(10，
)、(100，
)、(110，
)共线；
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大者；
③若{an}是等比数列，则Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列；
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），则{an}是等比数列．
其中正确命题的序号是______．（将你认为的正确命题的序号都填上）
①若{an}是等差数列，则三点(10，
| S10 |
| 10 |
| S100 |
| 100 |
| S110 |
| 110 |
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大者；
③若{an}是等比数列，则Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列；
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），则{an}是等比数列．
其中正确命题的序号是______．（将你认为的正确命题的序号都填上）
①因为
=
=a1+
d，同理
=a1+
d，
=a1+
d，
则
=
=
=
=
=
，
所以三点(10，
)，(100，
)，(110，
)共线．此选项正确；
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，所以a1+2d+a1+6d=-6，解得d=2，所以数列是递增数列，则S1、S2、…、Sn这n个数中不存在一个最大者；②不正确；
③若{an}是等比数列，则Sm=
；
S2m-Sm=
-
=
；
S3m-S2m=
-
=
；
因为[
]2=
•
，
所以Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列，
当公比q=-1，且m为偶数时，该命题错误．
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），如果数列是等比数列，设公比为q，则Sn+an+1=a1+qSn∴Sn（1-q）=a1-an+1=a1（1-qn），显然数列{an}是等比数列．正确．
故答案为：①④．
| S10 |
| 10 |
10a1+
| ||
| 10 |
| 9 |
| 2 |
| S100 |
| 100 |
| 99 |
| 2 |
| S110 |
| 110 |
| 109 |
| 2 |
则
| ||||
| 100-10 |
(a1+
| ||||
| 90 |
| d |
| 2 |
| ||||
| 110-100 |
(a1+
| ||||
| 10 |
| d |
| 2 |
所以三点(10，
| S10 |
| 10 |
| S100 |
| 100 |
| S110 |
| 110 |
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，所以a1+2d+a1+6d=-6，解得d=2，所以数列是递增数列，则S1、S2、…、Sn这n个数中不存在一个最大者；②不正确；
③若{an}是等比数列，则Sm=
| a1(1-qm) |
| 1-q |
S2m-Sm=
| a1(1-q2m) |
| 1-q |
| a1(1-qm) |
| 1-q |
| a1(qm-q2m) |
| 1-q |
S3m-S2m=
| a1(1-q3m) |
| 1-q |
| a1(1-q2m) |
| 1-q |
| a1(q2m-q3m) |
| 1-q |
因为[
| a1(qm-q2m) |
| 1-q |
| a1(1-qm) |
| 1-q |
| a1(q2m-q3m) |
| 1-q |
所以Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列，
当公比q=-1，且m为偶数时，该命题错误．
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），如果数列是等比数列，设公比为q，则Sn+an+1=a1+qSn∴Sn（1-q）=a1-an+1=a1（1-qn），显然数列{an}是等比数列．正确．
故答案为：①④．
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