Question

已知函数f(x)=(x-a)²(x-b)(a，b∈R，a＜b)，
(Ⅰ)当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(Ⅱ)设x₁，x₂是f(x)的两个极值点，x₃是f(x)的一个零点，且x₃≠x₁，x₃≠x₂，证明：存在实数x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某种顺序排列后构成等差数列，并求x₄。

Answer 1

解：(Ⅰ)当a=1，b=2时，因为f′(x)=（x-1）（3x-5），
故f′(2)=1，
又f(2)=0，
所以f(x)在点(2，0)处的切线方程为y=x-2．
(Ⅱ)证明：因为，
由于a＜b，故，
所以f（x）的两个极值点为，
不妨设，
因为x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f(x)的零点，故x₃=6，
又因为，，
此时依次成等差数列，
所以存在实数x₄满足题意，且。