Question

（2013•温州二模）已知直线l：y=2x-2与抛物线M：y=x²的切线m平行
（I）求切线m的方程和切点A的坐标
（II）若点P是直线l上的一个动点，过点P作抛物线M的两条切线，切点分别为B，C，同时分别与切线m交于点E，F试问

S△ABC

|EF|

是否为定值？若是，则求之，若不是，则说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数y=x²的导函数，由切线的斜率等于2求出切点坐标，则切线方程可求；
（Ⅱ）设出点P，切点B，C，由导数得到过B，C的切线方程，两切线方程联立解得点P，由此可以得到B，C的横坐标与P点坐标s，t的关系，由两点式写出BC的方程，则点A（1，1）到直线BC的距离可求，同样把BC的长度转化为含有s，t及B，C横坐标的代数式，然后由P在直线y=2x-2上用s表示t，则三角形ABC的面积化为

1

2

|x1-x2|，再由两条切线和（Ⅰ）中求出的切线m联立解出E，F，由两点间的距离公式求出|EF|，作比后进行约分，最终可证得

S△ABC

|EF|

为定值

5

5

．

解答：解：解：（I）设切点A(x0，x02)，切线斜率k=2x₀，
∴2x₀=2，x₀=1
∴A（1，1），切线m的方程为y=2x-1；
（II）设P（s，t），切点B(x1，x12)，C(x2，x22)，
∵y^′=2x，
∴切线PB，PC的方程分别是y=2x₁x-x12，y=2x2x-x22
联立方程组

y=2x1x-x12 y=2x2x-x22

，得交点P（

x1+x2

2

，x1x2），即

s= x1+x2 2 t=x1x2

∵点P在直线l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2
又∵直线BC的方程为y=（x₁+x₂）x-x₁x₂=2sx-t
∴点A（1，1）到直线BC的距离d=

|2s-1-t|

1+4s2

=

1

1+4s2

又由

y=2sx-t y=x2

得x²-2sx+t=0．
∴|BC|=

1+4s2

|x1-x2|．
∴S△ABC=

1

2

|BC|d=

1

2

|x1-x2|   
联立方程组

y=2x1x-x12 y=2x-1

，得交点E(

x1+1

2

，x1)，
联立方程组

y=2x2x-x22 y=2x-1

，得交点F(

x2+1

2

，x2)．
∴|EF|=

( x1+1 2 - x2+1 2 )2+(x1-x2)2

=

5

2

|x1-x2|
∴

S△ABC

|EF|

=

1 2 |x1-x2|

5 2 |x1-x2|

=

5

5

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数求曲线上某点的切线方程，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、面积问题，考查了数形结合、分类讨论、函数与方程的数学思想方法．是有一定难度题目．