Question

（2010•台州一模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足4sin2

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（I）求角A的度数；
（Ⅱ）求

b+c

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简条件可得4cos²A-4cosA+1=0，求出cosA=

1

2

，可得角A的值．
（II）利用正弦定理把式子

b+c

a

化为2sin(B+

π

6

)，根据角B+

π

6

的范围，求出

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1，由此求得

b+c

a

的取值范围．

解答：解：（I）∵2(1+cosA)-(2cos2A-1)=

7

2

，…（4分）
∴4cos²A-4cosA+1=0解得cosA=

1

2

，…（6分）
∵0＜A＜π
∴A=

π

3

． …（8分）
（II）

b+c

a

=

sinB+sinC

sinA

=

sinB+sin( 2π 3 -B)

sin π 3

=2sin(B+

π

6

)，…（10分）
∵B∈(0，

2π

3

)，
∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1
∴

b+c

a

∈(1，2]…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，根据三角函数的值求角，属于中档题．