题目内容

（2010•台州一模）某电子科技公司遇到一个技术性难题，决定成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自独立进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关限期内攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期限内被甲小组攻克的概率为
2
3
，被乙小组攻克的概率为
3
4
．
（1）设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（2）设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数f(x)=|η-
1
2
|x在定义域内单调递增”为事件C，求事件C发生的概率．
分析：（1）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
（2）因为获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相对应的没有获奖攻关小组数的取值为2，1，0．所以η的可能取值为0，4．由P（C）=P（η=4）=P（ξ=0）+P（ξ=2），能求出事件C发生的概率．
解答：解：（1）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2．
P（ξ=0）=P（
.
A
•
.
B
）=（1-
2
3
）（1-
3
4
）=
1
12
，
P（ξ=1）=P（
.
A
•B）+P（A•
.
B
）=（1-
2
3
）•
3
4
-
2
3
•（1-
3
4
）=
5
12
，
P（ξ=2）=P（A•B）=
2
3
•
3
4
=
1
2
，
∴ξ的分布列为：
 ξ  0 1  2 
 P  
1
12
  
5
12
  
1
2
Eξ=
1
12
×0+
5
12
×1+
1
2
×2=
17
12
．
（2）因为获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，
相对应的没有获奖攻关小组数的取值为2，1，0．所以η的可能取值为0，4．
当η=0时，函数f(x)=|η-
1
2
|x在定义域内单调递减；
当η=4时，函数f(x)=|η-
1
2
|x在定义域内单调递增；
所以，P（C）=P（η=4）=P（ξ=0）+P（ξ=2）=
1
12
+
1
2
=
7
12
．
点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望的求法，是中档题，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意排列组合和概率知识的灵活运用．
练习册系列答案
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8
8
．
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