Question

设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，a=2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理可得sinB的值，从而可求得角B的大小；
（2）由B=

π

6

，可知A+C=

5π

6

，将cosA+sinC转化为cosA+sin（

5π

6

-A），在利用三角函数间的关系转化为关于A的同角同名函数即可．

解答：解：（1）由正弦定理得：a=2bsinA?sinA=2sinBsinA，
∵A为锐角，故sinA≠0，
∴sinB=

1

2

，而B为锐角，
∴B=

π

6

．
（2）∵B=

π

6

，
∴A+C=

5π

6

，
∴cosA+sinC=
cosA+sin（

5π

6

-A）
=cosA+sin

5π

6

cosA-cos

5π

6

sinA
=

3

2

cosA+

3

2

sinA
=

3

sin（A+

π

3

）．
∵△ABC是锐角三角形，A+C=

5π

6

，
∴0＜C=

5π

6

-A＜

π

2

，
∴

π

3

＜A＜

π

2

，
∴

2π

3

＜A+

π

3

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

3

）＜

3

2

．
∴

3

2

＜

3

sin（A+

π

3

）＜

3

2

．

点评：本题考查正弦定理的应用，考查三角函数中的恒等变换应用，求得角B的大小是基础，利用A+C=

5π

6

转化为单角的三角函数式是关键，属于中档题．