Question

设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若

AB

•

AC

=12，a=2

7

，求b，c（其中b＜c）．

Answer 1

分析：（1）先根据两角和与差的正弦公式展开得到角A的正弦值，再由角A的范围确定角A的值．
（2）先根据向量数量积的运算和角A的值得到cb=24，再由a=2

7

和余弦定理可求出b，c的值．

解答：解：（1）因为sin²A=（

3

2

cosB+

1

2

sinB)（

3

2

cosB-

1

2

sinB）+sin²B
=

3

4

cos2B-

1

4

sin2B+sin2B=

3

4

所以sinA=±

3

2

．又A为锐角，所以A=

π

3

（2）由

AB

•

AC

=12可得，cbcosA=12    ①
由（1）知A=

π

3

，所以cb=24   ②
由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA，将a=2

7

及①代入可得c²+b²=52③
③+②×2，得（c+b）²=100，所以c+b=10
因此，c，b是一元二次方程t²-10t+24=0的两根
解此方程并由c＞b知c=6，b=4

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦定理的应用．属基础题．