Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2

2

，侧棱长为4．
（1）求证：平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）求D₁到面AB₁C的距离；
（3）求三棱锥D₁-ACB₁的体积V．

Answer 1

分析：（1）由BD⊥AC，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B?AC⊥平面BDD₁B₁?平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）设AC、BD交与点O，连接B₁O．点D₁作D₁H⊥B₁O，则D₁H即为所求D₁到面AB₁C的距离；
（3）利用（2）找到的高，再求出底面面积，代入体积计算公式即可．

解答：（1）证明：∵BD⊥AC，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，
又因为AC?平面B₁EF，所以平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）解：连接AC、BD交与点O，连接B₁O．
过点D₁作D₁H⊥B₁O，则D₁H即为所求．
在△B₁D₁O中，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面边长为2

2

，侧棱长为4．
可得D₁O=B₁O=

DD2+DO2

=

20

=2

5

，B₁D₁=4
∴cos∠D₁B₁O=

42+( 20 ) 2-( 20 )2

2×4× 20

=

20

10

，
∴

B1H

B1D1

=

20

10

=

2 5

5

?B₁H=

2 20

5

?D1H=

8

5

5

．
即D₁到面AB₁C的距离为

8 5

5

．
（3）解：V=

1

3

S△AB1C•D1H=

1

3

•

1

2

•4•2

5

•

8

5

5

=

32

3

．
所以三棱锥D₁-ACB₁的体积为

32

3

．

点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质以及点到面的距离和三棱锥的体积计算公式．是对立体几何知识的综合考查．