题目内容

已知向量 $数学公式$ = $数学公式$ ， $数学公式$ =（cosx-sinx，2sinx），若函数f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求角A、B、C的大小．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（cosx-sinx，2sinx）
∴f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+ $\text{[math]}$ cosx•2sinx=cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），（4分）
令- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （k∈Z），
即函数f（x）的单调递增区间是 $\text{[math]}$ （k∈Z）；（6分）
（2）因为f（A）=1，所以sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ＜2x+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴A= $\text{[math]}$ ．
∴cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵a=1，b+c=2，
∴bc=1
∴b=c=1
∴△ABC为等边三角形，即A=B=C= $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）利用向量的数量积运算及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调递增区间，即可得到结论；
（2）根据f（A）=1，可求A= $\text{[math]}$ ，再利用余弦定理及a=1，b+c=2，即可得到结论．
点评：本题考查向量的数量积运算，考查三角函数的化简，考查函数的性质，同时考查余弦定理的运用，属于中档题．