Question

(2007苏锡常镇四市模拟)如图所示，已知点D在定线段MN上，且|MD|=3，|DN|=1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M，N作圆C的另两条切线交于点P．

(1)建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；

(2)过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A，B，若，且，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy． ∵PM－PN=(PE＋EM)－(PF＋FN)=ND－MD=2， 或PM－PN=(PE－EM)－(PF－FN)=MD－ND=－2， ∵点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线(不包括顶点)， 其轨迹方程为(y≠0)． (2)∵，， ∴． 设，， 则，． 设AB∶my=x＋2，代入得，， 即． ∴ (i)当时，． ∴ 得，， ∴， 即． ∴解得，，故． (ii)当时，． 得，， 即． ∵，， ∴， 即， ∴ 即，故． 由(i)(ii)得或． 则夹角， ∵tanθ不存在时，直线l符合条件， 故时，符合题意， ∴．