题目内容
若函数f（x）=
．（1）若f（x）在x=1处的切线方程式y=-2x+3，这样的a是否存在？若存在，求出a的值，不存在说明理由．
（2）若f（x）在区间[1，3]上单调递增，求a的取值范围．
【答案】分析：（1）要使得f（x）在x=1处的切线方程为y=-2x+3则f′（1）=-2⇒a=0或1，再利用切点为（1，1）可解；
（2）f（x）在区间[1，3]上单调递增等价于f′（x）=2x2-x+a2-a-32x2-x+a2-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立，从而转化为a2-a-3≥（x-2x2）max，从而得解．
解答：解：（1）设存在实数a，使得f（x）在x=1处的切线方程为y=-2x+3
则f′（1）=-2⇒a=0或1，
当
当
∴不存在这样的a．
（2）f′（x）=2x2-x+a2-a-32x2-x+a2-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立?a2-a-3≥x-x2在x∈[1，3]上恒成立?a2-a-3≥（x-2x2）max，在x∈[1，3]
⇒a2-a-3≥-1⇒a≥2或a≤-1
点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理．
（2）f（x）在区间[1，3]上单调递增等价于f′（x）=2x2-x+a2-a-32x2-x+a2-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立，从而转化为a2-a-3≥（x-2x2）max，从而得解．
解答：解：（1）设存在实数a，使得f（x）在x=1处的切线方程为y=-2x+3
则f′（1）=-2⇒a=0或1，
当
当
∴不存在这样的a．
（2）f′（x）=2x2-x+a2-a-32x2-x+a2-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立?a2-a-3≥x-x2在x∈[1，3]上恒成立?a2-a-3≥（x-2x2）max，在x∈[1，3]
⇒a2-a-3≥-1⇒a≥2或a≤-1点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理．
练习册系列答案
相关题目