Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

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，公比q=

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的等比数列，设b_n+2=3log

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a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n≤

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m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据首项与公比，利用等比数列的通项公式写出数列{a_n}的通项公式，代入到b_n+2=3log

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a_n中，根据对数的运算性质化简即可求出{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）把第一问求出的两数列的通项公式代入c_n=a_n•b_n中，确定出c_n的通项公式，表示出c_n+1-c_n，判断得到其差小于0，故数列{c_n}为递减数列，令n=1求出数列{c_n}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，a_n=(

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)n（n∈N^*），
易得b_n=3log

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a_n-2=3n-2；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=（3n-2）•(

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)n，
∴c_n+1-c_n=（3n+1）•(

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)n+1-（3n-2）•(

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)n=9（1-n）•(

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)n+1（n∈N^*），
∴当n=1时，c₂=c₁=

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，
当n≥2时，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＞c₃＞c₄＞…＞c_n，
∴当n=1时，c_n取最大值是

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，又c_n≤

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m²+m-1对一切正整数n恒成立，
∴

1

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m²+m-1≥

1

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，即m²+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．

点评：此题考查了等比数列的通项公式，对数的运算性质及数列与不等式的综合．要求学生熟练掌握对数的运算性质，以及不等式恒成立时满足的条件．