题目内容
已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,又数列{bn}的前n项和Sn=nan.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=
1 | bn(2an+3) |
分析:(Ⅰ)由数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,知an=2n-1,由数列{bn}的前n项和Sn=nan,知Sn=2n2-n.由此能求出数列{bn}的通项公式.
(Ⅱ)由bn=4n-3,an=2n-1,知cn=
=
(
-
),由此利用裂项求和法能求出数列{cn}的前n项和Tn.
(Ⅱ)由bn=4n-3,an=2n-1,知cn=
1 |
bn(2an+3) |
1 |
4 |
1 |
4n-3 |
1 |
4n+1 |
解答:解:(Ⅰ)∵数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,
∵an=1+2(n-1)=2n-1,
∵数列{bn}的前n项和Sn=nan,
∴Sn=2n2-n.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=4n-3,
∵b1=S1=2-1=1符合上式,
∴bn=4n-3,n∈N*.
(Ⅱ)∵bn=4n-3,an=2n-1,
∴cn=
=
=
(
-
),
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]
=
(1-
)
=
.
∵an=1+2(n-1)=2n-1,
∵数列{bn}的前n项和Sn=nan,
∴Sn=2n2-n.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=4n-3,
∵b1=S1=2-1=1符合上式,
∴bn=4n-3,n∈N*.
(Ⅱ)∵bn=4n-3,an=2n-1,
∴cn=
1 |
bn(2an+3) |
1 |
(4n-3)(4n+1) |
1 |
4 |
1 |
4n-3 |
1 |
4n+1 |
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
5 |
1 |
9 |
1 |
4n-3 |
1 |
4n+1 |
=
1 |
4 |
1 |
4n+1 |
=
n |
4n+1 |
点评:本题考查数列的通项公式和前n项和的求法,解题时要认真审题,注意公式法和裂项求和法的合理运用.
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