Question

在四棱锥P-ABCD中，AB⊥CD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=

2

AD，直线PA与底面ABCD成60°，M、N分别是PA、PB的中点．
（1）求证：直线MN∥平面PDC；
（2）求平面MNCD与平面ABCD所成二面角的大小；
（3）若∠CND=90°，求证：直线DN⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）根据三角形中位线定理，有线面平行的判定定理，易证直线MN∥平面PDC；
（2）根据PD⊥底面ABCD，结合CD⊥AD可证得CD⊥面PAD，即CD⊥MD．可得∠MAD为平面MNCD与平面ABCD所成二面角的平面角，结合直线PA与底面ABCD成60°，可得答案．
（3）若∠CND=90°，则DN⊥CD，解三角形PAD可得DN⊥PB，由线面垂直的判定定理可得直线DN⊥平面PBC．

解答：证明：（1）∵M、N是PA、PB中点，
∴MN∥AB，从而MN∥CD．
∵MN在平面PDC外，CD在平面PDC内，
∴直线MN∥平面PDC．
解：（2）∵PD⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，
∴PD⊥CD．
又CD∥AB，AB⊥AD，
∴CD⊥AD．
∴CD⊥面PAD．
∴CD⊥MD．
∴∠MAD为平面MNCD与平面ABCD所成二面角的平面角．
∴PD⊥底面ABCD．
∵M是PA的中点，
∴MD=MA．
∴∠MDA=60°．
∴平面MNCD与平面ABCD所成二面角的平面角为60°．
证明：（3）∵AB⊥AD，AB=

2

AD，
∴BD=

3

AD．
∵PD⊥底面ABCD，直线PA与底面ABCD成60°角，
∴PD=

3

AD．
∴PD=BD．
∵N是PB的中点，
∴DN⊥PB．
∵∠CND=90°，
∴DN⊥CD．
∵PB、CN相交于一点N，
∴直线DN⊥平面PBC．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，解答（1）（3）的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理，解得（2）的关键是构造二面角的平面角．