Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数y=f （x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将a=3代入求出函数f（x）的解析式，然后令f（x）=0求出x的值，即得到答案．
（2）对函数f（x）进行求导然后对a的值进行分析：当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是区间[1，2]上的增函数进而可得到最小值；
当a＞0时，根据导函数的正负对函数区间[1，2]上的单调性进行讨论，从而确定最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题意f（x）=x²（x-3），
由f（x）=0，解得x=0，或x=3；
（Ⅱ）设此最小值为m．，，
（1）当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a
（2）当a＞0时，
当时，f'（x）＞0，从而f（x）在[，+∞）上是增函数；
当时，f'（x）＜0，从而f（x）在区间[0，]上是单调减函数
①当，即a≥3时，m=f（2）=8-4a
②当，即时，
③当时，m=f（1）=1-a
综上所述，所求函数的最小值
点评：本题主要考查函数的零点的求法、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、函数在闭区间的最值的求法．导数时高等数学下放到高中的内容，是高考的必考内容，要给予重视．