Question

已知函数f（x）=x²+aln x．
（I）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（II）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，
当x变化时，f′（x），f（x）的值变化情况如下表

由上表可知，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
极小值是f（1）=1，没有极大值
（2）
因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式在[1，+∞）上恒成立即在[1，+∞）上恒成立
令则当x∈[1，+∞）时，
∴在[1，+∞）上为减函数
∅（x）的最大值为∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0，+∞）
分析：（I）求出f（x）的导函数，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出单调区间及函数的极值．
（II）令g（x）的导数大于等于0恒成立，分离出参数a，构造新函数，通过导数求出新函数的最小值，令a大于等于最小值即得到a的范围．
点评：求使函数单调的参数的范围时，若函数单增则令其导数大于等于0恒成立；若单减，则令其导数小于等于0恒成立．