Question

如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与AA₁的交点记为M，求:

（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（2）该最短路线的长及的值；

（3）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小.

Answer 1

解:（1）正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形,其对角线长为.

（2）如图，将侧面AA₁B₁B绕棱AA₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连结DC₁交AA₁于点M，则DC₁就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线，其长为.

∵△DMA≌△C₁MA₁，∴AM=A₁M.

    故=1.

（3）连结DB、C₁B，则DB就是平面C₁MB与平面ABC的交线，在△DCB中，

∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°,

∴CB⊥DB.

    又C₁C⊥平面CBD，

    由三垂线定理得C₁B⊥DB.

∴∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）.

∵侧面C₁B₁BC是正方形，

∴∠C₁BC=45°.

    故平面C₁MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°.