题目内容

平面向量 $数学公式$ ， $数学公式$ 满足| $数学公式$ +2 $数学公式$ |= $数学公式$ ，且 $数学公式$ +2 $数学公式$ 平行于直线y=2x+1，若 $数学公式$ =（2，-1），则 $数学公式$ =________．

（-3，4）或（-5，0）
分析：设向量 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =m（1，2），根据| $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ 求出m的值，即可求得向量 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ 的坐标，再由 $\text{[math]}$ =（2，-1），求出向量 $\text{[math]}$ 的坐标．
解答：∵向量 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ 平行于直线y=2x+1，故可设向量 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =m（1，2）．
∵| $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，∴m²（1+4）=5，解得 m=±1，∴向量 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =（1，2）或（-1，-2）．
当向量 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =（1，2）时，向量 $\text{[math]}$ =（1，2）-2 $\text{[math]}$ =（-3，4）．
当当向量 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =（-1，-2）时，向量 $\text{[math]}$ =（1，2）-2 $\text{[math]}$ =（-5，0）．
综上可得， $\text{[math]}$ =（-3，4）或（-5，0），
故答案为（-3，4）或（-5，0）．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题．