Question

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
①对任意x∈R，都有f（x+1）=-f（x）
②当x∈（0，1]时，f（x）=x，试解决下列问题：
（Ⅰ）求在x∈（2，4]时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上有实数解，求实数m的取值范围；

Answer 1

（Ⅰ）∵对任意x∈R，都有f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
又x∈（0，1]时，∴f（x）=x
∴当x∈（2，3]时，x-2∈（0，1]，f（x）=f（x-2）=x-2
当x∈（3，4]时，x-1∈（2，3]，f（x）=-f（x-1）=-[（x-1）-2]=3-x
∴x∈（2，4]时，f（x）=

x-2，2＜x≤3 3-x，3＜x≤4

（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上的实数解为x₀
则

x0-2=2x0+m 2＜x0≤3

或

3-x0=2x0+m 3＜x0≤4

∴

x0=-2-m 2＜x0≤3

或

x0=1- m 3 3＜x0≤4

∴-5≤m＜-4或-9≤m＜-6