Question

已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率为k=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；　　
（Ⅱ）求函数F（x）=x-f（x）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）k=f（x）=（x＞0），求导函数可得f′（x）=
令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e
∴f（x）在（0，e）单调递增，（e，+∞）单调递减．
（Ⅱ）F（x）=x-，求导函数可得F′（x）=
设h（x）=x²-1+lnx，求导函数可得------------------（5分）
∴h（x）在（0，+∞）为单调递增函数．
∵h（1）=0，∴F'（1）=0，除了1之外，F（x）无其他零点，
∴当x=1时，F（1）=1为最小值．---------------（12分）
分析：（Ⅰ）确定函数k=f（x）=（x＞0），求导函数，令f′（x）＞0可得函数的单调增区间；令f′（x）＜0，可得函数的单调减区间；
（Ⅱ）F（x）=x-，求导函数可得F′（x）=，构造新函数h（x）=x²-1+lnx，确定h（x）在（0，+∞）为单调递增函数，从而可求函数F（x）=x-f（x）的最小值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数解析式是关键．