Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F₂与抛物线C₂：y²=4x的焦点重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，|PF2|=

5

3

．圆C₃的圆心T是抛物线C₂上的动点，圆C₃与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）证明：无论点T运动到何处，圆C₃恒经过椭圆C₁上一定点．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的方程，求出焦点坐标，然后求出椭圆的坐标，通过定义建立方程，化简即可得到椭圆C₁的方程．
（2）设出点T的坐标，将抛物线方程代入圆的方程，得到一元二次方程，证明此方程恒成立即可．

解答：解：（1）：∵抛物线C₂：y²=4x的焦点坐标为（1，0），
∴点F₂的坐标为（1，0）．
∴椭圆C₁的左焦点F₁的坐标为F₁（-1，0），
抛物线C₂的准线方程为x=-1．
设点P的坐标为（x₁，y₁），
由抛物线的定义可知|PF₂|=x₁+1，
∵|PF2|=

5

3

，
∴x1+1=

5

3

，解得x1=

2

3

．
由y12=4x1=

8

3

，且y₁＞0，得y1=

2

3

6

．
∴点P的坐标为(

2

3

，，

2

3

6

)．
在椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，c=1.2a=|PF1|+|PF2|=

( 2 3 +1)2+( 2 3 6 -0)2

+

( 2 3 -1)2+( 2 3 6 -0)2

=4．
∴a=2，b=

a2-c2

=

3

．
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：设点T的坐标为（x₀，y₀），圆C₃的半径为r，
∵圆C₃与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴|MN|=2

r2- x 2 0

=4．
∴r=

4+ x 2 0

．
∴圆C₃的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=4+x₀²．（*）
∵点T是抛物线C₂：y²=4x上的动点，
∴y₀²=4x₀（x₀≥0）．
∴x0=

1

4

y

2 0

．
把x0=

1

4

y

2 0

代入（*）
消去x₀整理得：(1-

x

2

)

y

2 0

-2yy0+(x2+y2-4)=0．（**）
方程（**）对任意实数y₀恒成立，
∴

1- x 2 =0 -2y=0 x2+y2-4=0.

解得

x=2 y=0.

∵点（2，0）在椭圆C₁：

x2

4

+

y2

3

=1上，
∴无论点T运动到何处，圆C₃恒经过椭圆C₁上一定点（2，0）．

点评：本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识．