Question

（2011•重庆一模）设函数f（x）=2sinφcos2

x

2

+cosφsinx-sinφ（0＜φ＜π）在x=π处取得最小值．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）和函数f（x）关于点（

π

12

，b）对称，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过二倍角个数以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过函数在x=π处取得最小值，结合φ的范围直接求φ的值；
（Ⅱ）通过函数g（x）和函数f（x）关于点（

π

12

，b）对称，求出函数g（x）的表达式，利用余弦函数的单调减区间求出函数的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinφcos2

x

2

+cosφsinx-sinφ
=2sinφ•

1+cosx

2

+cosφsinx-sinφ     …（2分）
=sinφ+sinφcosx+cosφsinx-sinφ
=sinxcosφ+cosxsinφ
=sin（x+φ）．  …（5分）
因为函数f（x）在x=π处取最小值，所以sin（x+φ）=-1． …（6分）
由诱导公式知sinω=1，因为0＜φ＜π，所以φ=

π

2

．
所以f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．        …（7分）
（Ⅱ）因为函数g（x）和函数f（x）关于点（

π

12

，b）对称，
所以g（x）=2b-f（

π

6

-x）=2b-cos（

π

6

-x）=2b-cos（x-

π

6

），…（10分）
由不等式2kπ≤x-

π

6

≤π+2kπ，得到2kπ+

π

6

≤x≤

7π

6

+2kπ，
所以函数g（x）的单调增区间为[2kπ+

π

6

，

7π

6

+2kπ]   k∈Z． …（13分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，函数的对称性，单调区间的求法，考查计算能力．