在一批10件产品中.有3件是次品.7件是合格品.现从中一件一件地抽取产品.设各件产品被抽到的可能性相同.在下列三种情况下.分别求出直到取出合格品为止时所需要抽取次数ξ的分布列:(1)每次取出的产品都不放回此批产品中,(2)每次取出的产品若是次品.则放回此批产品中.然后再取出一件产品,(3)每次取出一件产品后.另以一件合格品� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在一批10件产品中，有3件是次品，7件是合格品.现从中一件一件地抽取产品，设各件产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需要抽取次数ξ的分布列：

（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；

（2）每次取出的产品若是次品，则放回此批产品中，然后再取出一件产品；

（3）每次取出一件产品后，另以一件合格品放回此批产品中.

解析：（1）ξ的取值为1，2，3，4.

当ξ=1时，即只取一次就取到合格品，故P（ξ=1）=.

当ξ=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故

P（ξ=2）=×=.

类似地，有

P（ξ=3）=××=,

P(ξ=4)= ×××=.

所以ξ的分布列是

ξ	1	2	3	4
P

（2）ξ的取值为1，2，3，…，n，….

当ξ=1时，即第一次就取到合格品，故

P（ξ=1）==0.7.

当ξ=2时，即第一次取到次品，第二次取到合格品，故

P（ξ=2）=×=0.3×0.7.

当ξ=3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故

P（ξ=3）=××=(0.3)²×0.7.

依此类推，当ξ=n时，前n-1次均取到次品，而第n次取到正品，故

P（ξ=3）=（0.3）^n-1×0.7(n=1,2,3, …).

因此ξ的分布列为

ξ	1	2	3	…	n	…
P	0.7	0.7×0.3	0.7×0.3²	…	0.7×0.3^n-1	…

(3)ξ的值为1，2，3，4.

当ξ=1时，即第一次就取到合格品，故

P（ξ=1）=.

当ξ=2时，即第一次取出一件次品，另以一件合格品放回此批产品中，再第二次取到合格品，故

P（ξ=2）=×.

类似地，

P（ξ=3）=××，

P（ξ=4）=×××.

因此ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	0.7	0.24	0.054	0.006

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产品编号	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅
质量指标（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（1，1，1）	（1，2，1）
产品编号	A₆	A₇	A₈	A₉	A₁₀
质量指标（x，y，z）	（1，2，2）	（2，1，1）	（2，2，1）	（1，1，1）	（2，1，2）

（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．

某厂生产的10件产品中，有8件正品，2件次品，正品与次品在外观上没有区别，从这10件产品中任意抽检2件，计算：

(1)两件都是正品的概率；

(2)一件是正品，一件是次品的概率；

(3)如果抽检的2件产品都是次品，则这一批产品将被退货，求这批产品被退货的概率．

一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）

分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．

一批产品共100件，其中有10件次品，为了检验其质量，从中随机抽取5件，求在抽取的这5件产品中次品数的分布列，并说明5件产品中有3件以上为次品的概率.(精确到0.001)

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