题目内容

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（
3
，0）
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．
（1）设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
由已知得a=
3
，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故双曲线C的方程为
x2
3
-y2=1．
（2）将y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k2≠
1
3
且k2＜1．①
设A（xA，yA），B（xB，yB），
则xA+xB=
6
2
k
1-3k2
，xAxB=
-9
1-3k2
，由
OA
•
OB
＞2得xAxB+yAyB＞2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
2
)(kxB+
2
)=(k2+1)xAxB+
2
k(xA+xB)+2=(k2+1)
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1-3k2
+2=
3k2+7
3k2-1
．
于是
3k2+7
3k2-1
＞2，即
-3k2+9
3k2-1
＞0，解此不等式得
1
3
＜k2＜3．②
由①、②得
1
3
＜k2＜1．
故k的取值范围为(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为
2
4
，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，
3
2
5
为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|
F1Q
|=2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点
（1）若点P的横坐标为
a
2
，证明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，求椭圆离心率的取值范围．
直线y=2x+1与椭圆
x2
4
+
y2
16
=1的位置关系是（　　）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
已知F1，F2分别为椭圆C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF2|=
3
5
．
（1）试求椭圆C1的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足
OA
+
OB
=λ
OP
，求实数λ的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．
已知抛物线方程y2=4x，过点P（1，2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（　　）
A．0条B．1条C．2条D．3条
已知圆内接四边形中，则四边形的面积为           .

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