题目内容

（1）已知矩阵M=
20
0
1
2
，矩阵M对应的变换把曲线y=x2变为曲线C，求C的方程．
（2）已知a，b，c为正实数，求证：
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
．
分析：（1）设出曲线C上的任意一点P点，和曲线y=x2上的一点P0根据矩阵M对应的变换求出P点与P0点的关系，从而求出C的方程．
（2）利用整体思想进行求解，据平均值不等式可得
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥
3
abc
，两边再加上abc，然后再利用平均值不等式，即可求证．
解答：解：（1）设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=x2上的点P0（x0，y0）在矩阵M变换下的对应点，
则有（x，y）=（x0，y0）M，
∵矩阵M=
20
0
1
2
，代入可得
x=2x0
y=
1
2
y0
，
∴
x0=
1
2
x
y0=2y
，
∵点P0在曲线y=x2上，
∴2y=
1
4
x2，
∴C的方程为x2=8y；
（2）由于a，b，c为正实数，根据平均值不等式可得
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥
3
abc
，
∴
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥
3
abc
+abc≥2
3
，
即证．
点评：此题考查了二阶矩阵的变换和均值不等式的应用，要熟练掌握这方面的知识，这是高考的热点问题．
练习册系列答案
相关题目
本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）已知矩阵M=
1a
b1
，N=
c2
0d
，且MN=
20
-20
，
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
-
2
2
t
（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，
5
)，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
（1）已知矩阵M=
0
1
1
0
，N=
0
1
-1
0
．在平面直角坐标系中，设直线2x-y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程．
（2）在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C （2，
π
3
），半径R=
5
，求圆C的极坐标方程．
（3）已知a，b为正数，求证：
1
a
+
4
b
≥
9
a+b
．
已知矩阵M=
2  1
4  2
，向量
β
=
.
1 
7 
.
．
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算M50
β
．
（1）已知矩阵M=
2a
21
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P'（-4，0）
（i）求实数a的值；
（ii）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
（2）在平面直角坐标系xOy中，动圆x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0（a∈R）的圆心为P（x0，y0），求2x0-y0的取值范围．
（3）已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
①求证：a2+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
②求实数m的取值范围．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=
12
21
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M100β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

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