Question

8．已知m∈N^*，函数f（x）=（2m-m²）•x${\;}^{2{m}^{2}+3m-2}$在（0，+∞）上是增函数，判断f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性之间的关系求出m，然后根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{2m-{m}^{2}＞0}\\{2{m}^{2}+3m-2＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2m-{m}^{2}＜0}\\{2{m}^{2}+3m-2＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{m＜-2或m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞2或m＜0}\\{-2＜m＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{2}$＜m＜2或-2＜m＜0，
∵m∈N^*，∴m=1，
则f（x）=x³，
则f（-x）=-x³=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数单调性的性质，求出m的值是解决本题的关键．